No se desde que punto de Burundi pretendes salir.
De Bujumbura (Burundi) a Kampala, tienes 800 km, muchos de ellos bordeando el lago Victoria. No creo que tengas problema para encontrar transporte publico.
De todos modos, puedes intentar encontrar un vuelo allí, por menos de esos 300 euros. Hay lineas aereas locales que no salen normalmente en buscadores y también puedes consultar una vez allí en una agencia (muchas veces se permite incluso regateo).
Puedes consultar Air Uganda:
www.air-uganda.com/
Tiene una tarifa de 123$ Entebbe - Bujumbura.
Air Burundi (la linea del gobierno de Burundi) no esta claro que vuele ya:
en.wikipedia.org/wiki/Air_Burundi