SI pides un visado turístico, te comprometes a no hacer trabajo remunerado en el país. Ten cuidado con eso, porque te pueden poner pegas y decir que lo tuyo no es ayuda humanitaria, sino trabajo.
Lo ideal sería hacerte un visado por ayuda humanitaria, habla con la embajada de India en Madrid y también con alguien del hospital para ver como lo han hecho otros cooperantes. En esto siempre suele haber trucos.
EL visado tarda menos de una semana, yo esperaría a que faltasen dos semanas y me lo haría.
SI el visado no te da para el periodo completo, es mejor que salgas del país por alguna de sus fronteras terrestres y vuelvas a entrar, aunque también creo que no eran muy pesados con las extensiones de visado. En otros países si son muy pesados, pero india tiene muchos extrajeros viviendo en el país.
La web de la embajada, con los telefonos y mucho mas es:
www.embajadaindia.com/
Suerte... Y si puedes cuéntanos como te ha ido, que servirá de ayuda para otros viajeros.